Facultad de Ciencias

 
   
   
  Ecuaciones Diferenciales I
   
 
 


Código
: 300001
Curso: 3º
Tipo: Troncal
Periodo de docencia: CI
Créditos: 9
Estudios: Matemáticas
Especialidad: Común para las dos Especialidades
Profesor/es: D. José Angel Rodríguez Méndez
Teléfono: 985 10 33 59
e-mail: Chachi@pinon.ccu.uniovi.es
Departamento: Matemáticas.
Area: Análisis matemático
Despacho: Nº 162 (Fac. Ciencias)

   
   
  Objetivos
 
 

1.- Comprender el papel que juegan las ecuaciones diferenciales para modelar una gran cantidad de fenómenos de evolución.
2.- Comprender la naturaleza de un problema bien planteado en términos de ecuaciones diferenciales ordinarias: teoremas de existencia, unicidad y regularidad de solución.
3.- Estudio completo del caso lineal, tanto para problemas con condiciones iniciales como con condiciones de frontera, concluyendo resultados cualitativos que, aunque en este caso resultan sencillos, serán la piedra angular en el desarrollo del análisis cualitativo de las ecuaciones no lineales que se desarrollará en la asignatura Ecuaciones Diferenciales II.
4.- Los conceptos cualitativos motivados mediante el estudio del caso lineal deberán ser suficientes para hacer ver al alumno que las ecuaciones diferenciales son parte de un planteamiento más general que ha de servir de paradigma en el estudio de los fenómenos de evolución. Los alumnos que opten por la asignatura Ecuaciones Diferenciales II profundizarán posteriormente en este planteamiento.

   
  Contenidos
 
 

Tema 1. Conceptos y generalidades
1.a.- Origen histórico y motivaciones de las ecuaciones diferenciales. Introducción al cálculo
variacional.
1.b.- Concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria: solución de un problema de
Cauchy, solución de un problema de contorno. Conceptos relacionados.
1.c.- Métodos elementales de integración de algunas ecuaciones diferenciales de primer orden.
Aplicaciones.
Tema 2. Naturaleza de un problema bien planteado
2.a.- Teoremas de existencia y de unicidad de solución: teorema de la mayorante de Cauchy,
teorema de Cauchy-Peano, teorema de Picard-Lipschitz.
2.b.- Prolongación de solución: solución maximal.
2.c.- Concepto de solución general de una familia de ecuaciones diferenciales ordinarias.
Regularidad de la solución general.
2.d.- Integrabilidad de las ecuaciones diferenciales ordinarias: existencia de integrales primeras
funcionalmente independientes.
Tema 3. La ecuación diferencial lineal
3.a.- Estudio algebraico de las soluciones: el concepto de matriz fundamental
3.b.-Cálculo de la matriz fundamental en el caso de coeficientes constantes: el concepto de
matriz exponencial. Matrices semejante: la matriz de Jordan.
3.c.- Representación geométrica de las soluciones: el análisis espectral y el retrato de fases.
3.d.- Concepto de estabilidad estructural. Campos lineales hiperbólicos: clasificación topológica
3.e.- Resolución de la ecuación lineal de orden superior en el caso de coeficientes constantes:
métodos de variación de parámetros y de coeficientes indeterminados.
3.f.- Ecuaciones diferenciales lineales de coeficientes analíticos: la ecuación de Legendre y
la ecuación de Bessel.
3.g.- Estudio cualitativo de las soluciones de una ecuación diferencial lineal de orden dos:
teoremas de separación y de comparación de Sturm.
3.h.- Concepto de un problema de contorno para una ecuación diferencial lineal: condiciones de
Sturm. Resolución mediante el operador de Green.

   
  Orientación metodológica
 
 

Se aconseja preparar la asignatura día a día. El estudio continuado es la única manera de acceder a cualquier concatenación de argumentos matemáticos.
La asistencia a clase con regularidad facilita la comprensión de esta asignatura, que no se puede presentar como un cuerpo de teoría perfectamente cerrada. Las distintas diversificaciones que puede tener el tratamiento del programa, tanto hacia interesantes concepciones dinámicas como hacia aplicaciones más concretas, obliga a estar al corriente de los comentarios y orientaciones bibliográficas que se hagan en clase. No es suficiente un único texto para desarrollar completamente el programa alcanzando los objetivos que se fijan.

   
  Evaluación
 
 

Examen final
La prueba, escrita, consiste en una mitad teórica (2,5 horas) en la que el alumno, mediante la exposición de algunos resultados importantes expuestos en clase, ha de manifestar suficiente madurez en el tratamiento riguroso del discurso matemático. En la otra mitad (otras 2,5 horas) el alumno ha de demostrar su capacidad para aplicar los resultados adquiridos tanto a la resolución de cuestiones abstractas como de carácter aplicado.
Corregido el examen se fijará una fecha de revisión donde el alumno, además de constatar los criterios que se siguieron en la evaluación, podrá solicitar explicación sobre las cuestiones que no ha desarrollado satisfactoriamente.

   
  Bibliografía básica
 
 

1. V.I. Arnold.. Ordinary differential equations. MIT Press, 1981

2. M. Guzmán. Ecuaciones diferenciales ordinarias. Alhambra Universidad, 1987

3. M.W. Hirsch, S. Smale. Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal. Alianza Universidad, 1983.

4. S. Novo, R. Ovaya, J. Rojo. Ecuaciones y sistemas diferenciales. Mc Graw Hill, 1995

5. F. Simmons. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones y notas históricas. Mc Graw Hill, 1993

6. J. Sotomayor. Liçoes de equaçóes diferenciais ordinárias. Projecto Euclides I.M.P.A. Rio de Janeiro 1979.