Asignatura Optativa del Segundo Ciclo de Matemáticas
Optimización y Métodos Variacionales
Curso 2003/04
La asignatura Optimización y Métodos Variacionales es una asignatura optativa de 15 créditos (150 horas), que se imparte
en el segundo ciclo de la licenciatura de Matemáticas.
Los métodos variacionales aparecieron como una respuesta al problema de hallar mínimos de funcionales (funciones cuyos argumentos son, también, funciones).
Un ejemplo clásico de problema variacional es el de hallar la trayectoria que minimiza la distancia entre dos puntos de una superficie dada (geodésica). La versión hamiltoniana de la mecánica clásica tiene una formulación variacional. Problemas de optimización de superficies sujetas a ciertas restricciones o problemas de control, tienen también su versión variacional.
El problema de minimizar funcionales está muy relacionado con el de minimización de funciones. Se trata de hallar criterios suficientes y necesarios para la existencia del mínimo, así como de condiciones que permitan su cálculo y de algoritmos que nos permitan computarlo.
El cálculo variacional está íntimamente ligado con la teoría de ecuaciones diferenciales (EDO y EDP), ya que las condiciones de existencia de solución del problema de minimización normalmente pasan por que dicha solución satisfaga cierta ecuación diferencial.
Pero como las soluciones minimizan un funcional, la teoría también está ligada a la topología y al análisis funcional, en la búsqueda de una generalización del teorema de Weierstrass para funciones continuas en compactos de Rn.
En este curso se abordarán éstas y otras cuestiones.
La asignatura está dividida en tres partes:
- Parte I. Introducción al cálculo variacional, impartida por el profesor Gonzalo Galiano, del 01/10 al 23/11.
- Parte II. Métodos variacionales de resolución de ecuaciones elípticas de segundo orden, impartida por el profesor Sergei Shmarev, del 24/11 al 24/01.
- Parte III. Otros problemas de optimización, impartida por el profesor Julián Velasco, del 25/01 al 06/06.
Datos de los profesores
Horario de clases
| Martes | 13-14 |
| Miércoles | 14-16 |
| Jueves | 12-14 |
Parte I. Introducción al cálculo variacional
- Introducción. Algunos problemas clásicos del cálculo variacional.
- Analogías entre el cálculo diferencial y el cálculo variacional.
- Condiciones necesarias que satisface un mínimo. La ecuación de Euler y la condición de Legendre.
- Condiciones suficientes para un mínimo. Condiciones de Jacobi.
- Existencia del mínimo: Teorema de Weierstrass en espacios de Hilbert.
Parte II. Métodos variacionales de resolución de las ecuaciones elípticas de segundo orden
- Planteamiento de los problemas principales (Dirichlet, Neumann, mixto) para las ecuaciones estrictamente elípticas.
- Problemas de autofunciones: propiedades variacionales de autofunciones y autovalores; el principio de mini-máx; las fórmulas variacionales para el cálculo de autovalores.
- Planteamiento variacional de los problemas de contorno básicos; demostración de la existencia y la unicidad de las soluciones mediante el método de Ritz.
Parte III. Otros problemas de optimización
- Optimización de funcionales cuadráticos en dimensión finita e infinita y su aproximación numérica.
- Desigualdades variacionales elípticas. Existencia y unicidad de soluciones. Aproximación numérica. Aplicaciones.
- Desigualdades variacionales parabólicas. Existencia y unicidad de soluciones. Aproximación numérica. Aplicaciones.
- Algunos métodos de resolución de problemas no lineales. Métodos de monotonía y métodos de compacidad. Mínimos cuadrados. Aplicaciones a la mecánica de fluidos: el problema de Stokes.
- Introducción a la teoría del control.
Clases de tablero, en la que se expondrán los contenidos teóricos de la asignatura, complementadas con clases en el laboratorio de informática.
La evaluación se llevará a cabo sobre trabajos propuestos por los profesores, que se realizarán en clase.
Parte I
- I.M. Gelfand y S.V. Fomin, Calculus of variations, Dover Publications Inc., New York, 2000.
- C. Fox, An introduction to the calculus of variations,Dover Publications Inc., New York, 1987.
- L. Elsgoltz, Ecuaciones diferenciales y cálculo variacional, Editorial Mir, Moscú, 1977.
Parte II
- V.P. Mijailov, Ecuaciones diferenciales en derivadas parciales, Editorial Mir, Moscú, 1978.
Parte III
- R. Glowinski, Numerical methods for nonlinear variational problems, Springer-Verlag, N. York, 1984.
- P.G. Ciarlet, Introduction to numerical linear algebra and optimisation, Cambridge University Press, Cambridge, 1989.
- C.M. Elliott, and J.R. Ockendon, Weak and variational methods for moving boundary problems, Pitman, Boston, 1982.
- J.L. Lions, Quelques méthodes de résolution des problèmes aux limites nonlinéaires, Dunod, París, 1969.
Parte I