Asignatura Optativa del Segundo Ciclo de Matemáticas

Optimización y Métodos Variacionales

Curso 2003/04



Presentación y organización
Contenidos de la asignatura
Metodología y evaluación
Bibliografía
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Presentación y organización


La asignatura Optimización y Métodos Variacionales es una asignatura optativa de 15 créditos (150 horas), que se imparte en el segundo ciclo de la licenciatura de Matemáticas.

Los métodos variacionales aparecieron como una respuesta al problema de hallar mínimos de funcionales (funciones cuyos argumentos son, también, funciones).

Un ejemplo clásico de problema variacional es el de hallar la trayectoria que minimiza la distancia entre dos puntos de una superficie dada (geodésica). La versión hamiltoniana de la mecánica clásica tiene una formulación variacional. Problemas de optimización de superficies sujetas a ciertas restricciones o problemas de control, tienen también su versión variacional.

El problema de minimizar funcionales está muy relacionado con el de minimización de funciones. Se trata de hallar criterios suficientes y necesarios para la existencia del mínimo, así como de condiciones que permitan su cálculo y de algoritmos que nos permitan computarlo.

El cálculo variacional está íntimamente ligado con la teoría de ecuaciones diferenciales (EDO y EDP), ya que las condiciones de existencia de solución del problema de minimización normalmente pasan por que dicha solución satisfaga cierta ecuación diferencial.

Pero como las soluciones minimizan un funcional, la teoría también está ligada a la topología y al análisis funcional, en la búsqueda de una generalización del teorema de Weierstrass para funciones continuas en compactos de Rn.

En este curso se abordarán éstas y otras cuestiones.


La asignatura está dividida en tres partes:


Datos de los profesores

ProfesoresDespachos y teléfonoCorreo electrónicoTutorías
Sergei ShmarevGeología, 985103195shmarev@orion.ciencias.uniovi.esMiércoles, 10-14
Julián VelascoGeología, 985103195julian@orion.ciencias.uniovi.esJueves, 17-21
Gonzalo GalianoCiencias, 985103343 galiano@correo.uniovi.es Miércoles, 10-14

Horario de clases

Martes13-14
Miércoles14-16
Jueves12-14

Contenidos de la asignatura


Parte I. Introducción al cálculo variacional

  1. Introducción. Algunos problemas clásicos del cálculo variacional.
  2. Analogías entre el cálculo diferencial y el cálculo variacional.
  3. Condiciones necesarias que satisface un mínimo. La ecuación de Euler y la condición de Legendre.
  4. Condiciones suficientes para un mínimo. Condiciones de Jacobi.
  5. Existencia del mínimo: Teorema de Weierstrass en espacios de Hilbert.

Parte II. Métodos variacionales de resolución de las ecuaciones elípticas de segundo orden

  1. Planteamiento de los problemas principales (Dirichlet, Neumann, mixto) para las ecuaciones estrictamente elípticas.
  2. Problemas de autofunciones: propiedades variacionales de autofunciones y autovalores; el principio de mini-máx; las fórmulas variacionales para el cálculo de autovalores.
  3. Planteamiento variacional de los problemas de contorno básicos; demostración de la existencia y la unicidad de las soluciones mediante el método de Ritz.

Parte III. Otros problemas de optimización

  1. Optimización de funcionales cuadráticos en dimensión finita e infinita y su aproximación numérica.
  2. Desigualdades variacionales elípticas. Existencia y unicidad de soluciones. Aproximación numérica. Aplicaciones.
  3. Desigualdades variacionales parabólicas. Existencia y unicidad de soluciones. Aproximación numérica. Aplicaciones.
  4. Algunos métodos de resolución de problemas no lineales. Métodos de monotonía y métodos de compacidad. Mínimos cuadrados. Aplicaciones a la mecánica de fluidos: el problema de Stokes.
  5. Introducción a la teoría del control.

Metodología y evaluación

Clases de tablero, en la que se expondrán los contenidos teóricos de la asignatura, complementadas con clases en el laboratorio de informática.

La evaluación se llevará a cabo sobre trabajos propuestos por los profesores, que se realizarán en clase.

Bibliografía

Parte I

Parte II

Parte III

Descargas

Parte I